Лекция 7. Динамика материальной точки. Силы в природе

Сегодня перед нами предстоит задача изучить движение тела с позиции динамики, или по другому ответить на вопрос вследствие чего движутся тела. В разделе физики - динамика - рассматриваются взаимодействия тел, являющиеся причиной изменения движения этих тел, т.е. изменения их скоростей. Покоящееся тело начнет двигаться только после того, как на него подействует другое тело с силой, и в результате этого воздействия первое тело приобретет скорость. Таким образом понятия "сила" и "скорость" очень связанны между собой. Это положение содержит главное утверждение механики Ньютона и выражает принцип причинности в механике. 

С курса физики школы мы имеем представление о таком понятии как "инерция". Галилей в 1632 году сформулировал закон инерции.  Здесь важно отметить, что в физике, при изучении движения, состояние покоя и равномерного движения считаются эквивалентными понятиями. Происходит это потому, что кажущееся нам покоящееся тело на самом деле движется хотя бы вместе с Землей в космическом пространстве. То есть любое движение относительно. 

Что же такое "сила"? Сила - это количественная мера действия тел друг на друга, в результате которого тела получают ускорения или испытывают деформацию, иными словами сила - мера взаимодействия тел. Сила величина векторная, обозначается буквой F. Единица измерения силы F=1H (Ньютон). 

В интерактивном диалоговом окне ниже вы ознакомитесь с некоторыми интересными фактами жизни Исаака Ньютона и его открытиями. Вам следует нажать на ту область экрана, которая отмечена знаком   , для получения информации.

На практике для измерения сил применяют динамометр (рис.). Использование динамометра основано на том, что при упругой деформации удлинение пружины прямо пропорционально приложенной к ней силе. Поэтому по длине пружины можно судить о значении силы.

Силы бывают разными по масштабу, всего существует 4 фундаментальных взаимодействия: гравитационное, электромагнитное, а так же   

ядерное (сильное взаимодействие), слабое взаимодействие. Но в любом случае сила возникает тогда, когда два тела взаимодействуют друг с другом. В природе нет тел, на которые бы не действовали другие тела, соответственно на тела постоянно воздействует та или иная сила. В результате воздействия силы, тело меняет свое положение, здесь у вас может возникнуть мысль - "Если тело покоится, то на него не действует никакие силы." На самом деле это неверно. Если тело покоится, это означает, что на него действуют силы, но они равны по величине и противоположно направлены. Их равнодействующая равна нулю, поэтому тело находится в покое (или движется равномерно). Методы нахождения равнодействующей в разных ситуациях приведены в следующих видео.

ВИДЕО 1. Определение равнодействующей сил, направленных в одну сторону.

ВИДЕО 2. Определение равнодействующей сил, направленных в разные стороны.

ВИДЕО 3. Определение равнодействующей сил, направленных под углом 90⁰ друг к другу.

Теперь давайте подробнее рассмотрим основные силы в природе.

Сила тяжести

Земной шар сообщает всем телам у поверхности Земли одно и то же ускорение - ускорение свободного падения. Если земной шар сообщает телу ускорение, это означает что он действует на него с некой силой. Силу, с которой Земля действует на тело, называется силой тяжести.

${\overrightarrow{F}}_{тяж}=m\overrightarrow{g}$  (1)

Из формулы силы тяжести (1) видно, что она пропорциональна массе тела и ускорению свободного падения. Важно понимать откуда и куда направлена сила. Сила тяжести направлена от центра тела к центру Земли (рисунок). 

Сила реакции опоры и вес тела

Следующие два понятия "вес тела" и "сила реакции опоры" очень связаны между собой.

Вес тела $N$ - это сила, с которой тело действует на опору или подвес. Сила реакции опоры $P$ - это сила, с которой опора или подвес действует на тело. Из определений видно, что эти две силы направлены в разные стороны, но точка приложения одна. На рисунке можно это заметить.

Численное значение веса тела и силы реакции опоры одинаковы и так как они обусловлены силой тяжести, то формула выглядит так же:

$\overrightarrow{N}=\overrightarrow{P}=m\overrightarrow{g}$    (2).

Стоит отметить важный момент: вес тела не является какой-то специфической силой природы, это частный случай проявления силы упругости, о которой мы поговорим ниже. Так же важной особенностью веся является то, что его значение зависит от ускорения, с которым движется опора. Сила реакции опоры возникает как противоположно направленная весу тела. 

Отсутствие действия на тело сил тяготения Земли и веса тела приводит к состоянию невесомости.

В интерактивном диалоговом окне ниже вы ознакомитесь с некоторыми фактами о невесомости. Вам следует нажать на ту область экрана, которая отмечена знаком    (или другой цифрой), для получения информации.

Сила упругости

Под действием некоторых сил тело способно деформироваться, при этом деформация бывает упругой и не упругой. При неупругой деформации тело не восстанавливает свою форму или объем, примером может служить пластилин, который принимает ту форму, которую необходимо.  Рассмотрим подробнее природу упругой деформации - деформация, при которой тело восстанавливает свои первоначальные размеры и форму, как только прекращается действие силы, вызвавшей эту деформацию. Примеры упругой деформации пружина, резиновый шнур и др. Сила, которая направлена против деформации тела, называется силой упругости $F_{уп}$, она пропорциональна растяжению (сжатию) тела и коэффициенту упругости.

${\overrightarrow{F}}_{уп}=k\overrightarrow{∆x}$,   (3) 

где k - коэффициент жесткости [$\frac{H}{м}$], $∆x$ - изменение длины тела [м].

Из формулы можно заметить, что сила упругости прямо пропорциональна растяжению (сжатию), то есть если мы увеличим (уменьшим) прикладываемую силу в два раза, то тело увеличит (уменьшит) свой размер в два раза. 

Эту зависимость установил Р. Гук в 1660 г., и сформулировал свой закон следующим образом: сила упругости, возникающая при растяжении или сжатии тела, пропорционально удлинению. 

На рисунке показаны случаи возникновения силы упругости.

На рисунках видно, что сила упругости возникает при деформации пружины, независимо от того, какой силой вызвана эта деформация. 

Сила трения

Еще один вид сил ,с которыми имеют дело в механике, - это силы трения. Эти силы действуют вдоль поверхностей тел при их непосредственном соприкосновении. Силы трения во всех случаях препятствуют движению соприкасающихся тел. Силы трения либо тормозят движение тел, либо не позволяют телу начать движение. Рассуждая об этом можно сказать, что трение зависит от поверхности соприкасающихся тел, если они шероховатые, то трение будет значительным. И наоборот, чем глаже поверхности соприкасающихся тел, тем меньше значение силы трения. Формула для определения силы трения выглядит следующим образом:

${\overrightarrow{F}}_{тр}=\mu \overrightarrow{N}$      (3),

где $\mu$- коэффициент трения (безразмерная величина), $N$ - сила реакции опоры [Н].

 Всего различают три вида сил трения.

Рассмотрим на примере все виды сил трения:

1. Трение покоя. Если вы попробуете сдвинуть пальцем лежащую на столе толстую книгу, то не смотря на то, что вы приложили к ней некоторую силу, направленную вдоль поверхности стола, а книга остаётся какое -то время в покое. Следовательно, между книгой и поверхностью стола возникает сила, направленная против той силы, с которой вы действуете на книгу, и в точности равная ей по модулю - это и есть сила трения покоя. Книга остается в покое так как сила трения больше по модулю той силы, с которой вы толкаете. Если вы увеличите ту силу с которой толкаете книгу, ни она по модулю превзойдет силу трения покоя, то книга начнет двигаться.
2. Трение скольжения. При скольжении сила трения зависит не только от состояния трущихся поверхностей, но и от относительной скорости движения тел, причём эта зависимость от скорости является довольно сложной. Опыт показывает, что часто (хотя и не всегда) в самом начале скольжения, когда относительная скорость ещё мала, сила трения становится несколько меньше максимальной силы трения покоя. Лишь затем, по мере увеличения скоро- сти, она растёт и начинает превосходить максимальную силу трения. Вы, вероятно, замечали, что тяжёлый предмет, например ящик, трудно сдвинуть с места, а потом двигать его становится легче. Это как раз и объясняется уменьшением силы трения при появлении скольжения с малой скоростью При не слишком больших относительных скоростях движения сила трения скольжения мало отличается от максимальной силы трения покоя. Поэтому приближённо можно считать её постоянной и равной максимальной силе трения покоя:                                       

$F_{тр}\approx F_{тр. max}=\mu N$     (4)

Силу трения скольжения можно уменьшить во много раз с помощью смазки чаще всего тонкого слоя жидкости (обычно того или ино- го сорта минерального масла) - между трущимися поверхностями.

     3. Трение качения. Сила трения качения существенно меньше силы трения скольжения, поэтому гораздо легче                        перекатывать тяжелый предмет, чем двигать его.

Подведем итоги полученных знаний:

• На любое тело в любой момент времени действуют силы, даже если тело покоится или движется равномерно.
• Когда говорим от силе, важно указывать куда она направлена.
• Часто под воздействием силы тело движется неравномерно.

В кинематике мы изучаем движение тел, без выяснения причин этого движения. Мы изучаем как движется тело. В разделе механики — динамике — рассматриваются взаимодействия тел, являющиеся причиной изменения движения этих тел, т. е. изменения их скоростей. В динамике мы отвечаем на вопрос почему тело начало двигаться или менять свою скорость. 

Если тело, лежащее на полу или на столе, начинает двигаться, то всегда по соседству можно обнаружить предмет, который толкает это тело, тянет или действует на него на расстоянии (например, магнит на железный шар). Поднятый над землёй камень не остаётся висеть в воздухе, а падает. Очевидно, что именно действие Земли приводит к этому. Изменение скорости тела (а значит, ускорение) всегда вызывается воздействием на него каких-либо других тел. Эта фраза содержит главное утверждение механики Ньютона и выражает принцип причинности в механике. Принцип причинности исключает влияние данного события на прошедшее событие. Данное событие может влиять только на последующие события. Этот принцип позволяет описать реакцию тела или системы тел на внешние воздействия. Выше мы уже писали ио инерции -явление, при котором тело сохраняет скорость, когда на него не действуют другие тела. Это явление не является само собой разумеющимся. Понадобился гений Галилея и Ньютона, чтобы его осознать. Ньютону вслед за Галилеем удалось окончательно развеять одно из глубочайших заблуждений человечества о законах движения тел. Он доказал, что если действий со стороны других тел на данное тело нет, то согласно основному утверждению механики ускорение тела равно нулю, т. е. тело будет покоиться или двигаться с постоянной скоростью.

Здесь вы можете возразить, приведя в пример автомобиль, движущийся по шоссе с некоторой скоростью. При выключении двигателя автомобиль должен продолжать двигаться, но он с течением времени останавливается. Объяснить это можно наличием сил сопротивления движению (сила трения и сила сопротивления воздуха). 

Три закона И. Ньютона

Первый закон Ньютона.

Первый закон, или закон инерции, как его часто называют, фактически был открыт Галилеем, но строгую формулировку дал и включил его в число основных законов механики Исаак Ньютон.

Звучит он следующим образом: существуют системы отсчёта, называемые инерциальными, относительно которых тело движется прямолинейно и равномерно, если на него не действуют другие тела.

Этот закон, с одной стороны, содержит определение инерциальной системы отсчёта. С другой стороны, он содержит утверждение (которое с той или иной степенью точности можно проверить на опыте) о том, что инерциальные системы отсчёта существуют в действительности. До сих пор систему отсчёта мы связывали с Землёй, т. е. рассматривали движение относительно Земли. В системе отсчёта, связанной с Землёй, ускорение тела определяется только действием на него других тел. Система отсчёта, связанная с Землёй, является инерциальной.

Из формулировки первого закона следует, что если есть одна инерциальная система отсчёта, то любая другая движущаяся относительно неё прямолинейно и равномерно также является инерциальной. Однако, помимо инерциальных систем отсчёта, есть и другие, в которых тело имеет ускорение даже в том случае, когда на него другие тела не действуют.

В качестве примера рассмотрим систему отсчёта, связанную с автобусом. При равномерном движении автобуса пассажир может не держаться за поручень, действие со стороны автобуса компенсируется взаимодействием с Землёй. При резком торможении автобуса стоящие в проходе пассажиры падают вперёд, получая ускорение относительно стенок автобуса (рис. ). Однако это ускорение не вызвано какими-либо новыми воздействиями со стороны Земли или автобуса непосредственно на пассажиров. Относительно Земли пассажиры сохраняют свою постоянную скорость, но автобус начинает двигаться с ускорением, и пассажиры относительно него также движутся с ускорением. Ускорение появляется вследствие того, что движение их рассматривается относительно тела отсчёта (автобуса), движущегося с ускорением.

Второй закон Ньютона.

Второй закон Ньютона объединяет в себе три важные величины: сила, ускорение и масса. Звучит он следующим образом: ускорение тела прямо пропорционально равнодействующей сил, действующих на него, и обратно пропорционально его массе

                  $\overrightarrow{\alpha }=\frac{{\displaystyle \overrightarrow{F}}}{m}$                  (5)

Эта формула выражает один из самых фундаментальных законов природы, которому с удивительной точностью подчиняется движение как громадных небесных тел, так и мельчайших песчинок. Данный закон говорит о следующем: чем больше сумма сил, действующих на тело, тем большее ускорение она сообщает телу. С массой все обстоит иначе, чем массивнее тело, тем тяжелее сообщить ему ускорение. Из формулы (5) можно выразить массу тела и силу:

$m=\frac{{\displaystyle \overrightarrow{F}}}{{\displaystyle \overrightarrow{\alpha }}}$          (6),     $\overrightarrow{F}=m\overrightarrow{\alpha }$       (7)

Формулу (7) используют при решении задач, имея в виду, что в  качестве F выступает равнодействующая всех сил, действующих на тело, так как даже на покоящееся тело действует минимум три силы (об этом мы говорили выше). И тогда формула 7 в векторном виде выглядит: 

$m\overrightarrow{\alpha }={\overrightarrow{F}}_1+{\overrightarrow{F}}_2+{\overrightarrow{F}}_3+ ...$    (8)

Где правая часть уравнения и показывает сумму всех сил, действующих на тело.

Третий закон Ньютона.

Примеров взаимодействия тел и сообщения ими друг другу ускорений можно привести сколь угодно много. Когда вы, находясь в одной лодке, начнёте за верёвку подтягивать другую лодку, то и ваша лодка обязательно будет двигаться к ней (рис). Вы действуете на верёвку, и верёвка действует на вас. 

Если вы ударите ногой по футбольному мячу или толкнёте плечом товарища, то ощутите обратное действие на ногу или плечо. Всё это проявления закона взаимодействия тел.

Действия тел друг на друга носят характер взаимодействия не только при непосредственном контакте тел. Положите на гладкий стол два сильных магнита разноимёнными полюсами навстречу друг другу, и вы тут же обнаружите, что они начнут двигаться навстречу друг другу.

Изменения скоростей обоих взаимодействующих тел легко наблюдаются лишь в тех случаях, когда массы этих тел мало отличаются друг от друга. Если же взаимодействующие тела значительно различаются по массе, заметное ускорение получает только то из них, которое имеет меньшую массу. Так, при падении камня мы видим, что камень движется с ускорением, но ускорение Земли (а ведь камень тоже притягивает Землю!) практически обнаружить нельзя, так как оно очень мало.

Выясним с помощью опыта, как связаны между собой силы взаимодействия двух тел. Возьмём достаточно сильный магнит и железный брусок, установим их на катки для уменьшения трения о стол (рис. 2.25). К концам магнита и бруска прикрепим одинаковые пружины, закреплённые другими концами на столе. Магнит и брусок притянутся друг к другу и растянут пружины. Опыт показывает, что к моменту прекращения движения пружины растянуты совершенно одинаково.

 Это означает, что на оба тела со стороны пружин действуют одинаковые по модулю и противоположные по направлению силы:

₁ = -₂                     (2.5)

Так как магнит покоится, то сила ₂ равна по модулю и противоположна по направлению силе ₄, с которой на него действует брусок:

₂ = -₄.                     (2.6)

Точно так же равны по модулям и противоположны по направлению силы, действующие на брусок со стороны магнита и пружины:

₃ = -₁                     (2.7)

Отсюда следует, что силы, с которыми взаимодействуют магнит и брусок, равны по модулю и противоположны по направлению:

₃ = -₄                     (2.8)

 На основе подобных опытов можно сформулировать третий закон Ньютона: силы, с которыми тела действуют друг на друга, равны по модулю и направлены по одной прямой в противоположные стороны.

Если на тело А со стороны тела В действует сила _A (рис.), то одновременно на тело В со стороны тела А будет действовать сила _B, причём

_A = -_B                     (2.9)

Отметим, что силы взаимодействия двух тел — силы одной физической природы, время их действия одинаково, но они приложены к разным телам, следовательно, действие первого тела на второе не может быть скомпенсировано действием второго тела на первое.

Большое количество задач в динамике решаются с помощью Второго закона Ньютона. Но алгоритм решения один. С ним вы можете познакомиться на интерактивной форме ниже. В интерактивном диалоговом окне следует нажать ту область экрана, которая отмечена знаками   и , она содержит дополнительную информацию. Алгоритм сопровождается примером решения задачи на "движущийся лифт".

ЗАДАЧА 1

Чемодан массой m=5кг стоит на полу лифта, движущегося с ускорением a=1м/с². Найти вес чемодана, если 1) лифт движется вниз равноускоренно; 2) лифт движется вверх равноускоренно.

Приведем несколько примеров решения задач по теме "Сила. Законы Ньютона".

ЗАДАЧА 2

Чему равна равнодействующая (F) двух сил направленных по одной прямой в разные стороны (смотри рисунок), действующих на тело?

Глядя на рисунок можно посчитать модули сил F_{1 и} F_2. F₁=4H, F₂=6H.

Уравнение для нахождения равнодействующей в данном случае выглядит следующим образом:

$\overrightarrow{F}={\overrightarrow{F}}_1+{\overrightarrow{F}}_2$

Это уравнение представлено в векторном виде, прежде чем приходить к вычислениям нам необходимо привести его к скалярному виду, для этого выберем ось, на которую будем проецировать силы, и определим знаки проекций сил.

$F=-F_1+F_2=6-4=2H$

Таким образом равнодействующая сил, в данном случае равна 4 Н, и направлена вправо.

ЗАДАЧА 3

На рисунке представлены три вектора сил, приложенных к одной точке и лежащих в одной плоскости.Модуль вектора силы F₁ равен 4 Н. Чему равен модуль равнодействующей векторов F₁, F₂ и F₃?

Решать задачу будем по этапно. Сначала складываем F₃ и F₁. Результирующей будет сила F₁₃=3H, направленная вправо.

Силы F₂ и F₁₃ расположены перпендикулярно друг относительно друга, результирующей будет сила, расположенная по диагонали. Находим ее значение как длину гипотенузы в прямоугольном треугольнике по теореме Пифагора.

$F=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5 H$.

ЗАДАЧА 4

Груз массой 45 кг, движется по горизонтальной поверхности под действием силы 294 Н, направлено под углом α=30 ̊ к горизонту. Коэффициент трения груза плоскость µ= 0,1. Чему равно ускорение груза ?

Рассмотрите внимательно рисунок, на нем графически изображены все силы, действующие на тело: сила, с которой груз тянут; сила трения, которая направлена против движения тела; вес тела, обусловленный силой притяжения к Земле; сила реакции опоры, возникающая в противовес весу тела. Ось ОХ направим вправо. Нарисуем все сила, действующие на груз.

По второму закону Ньютона:

$m\overrightarrow{g}+\overrightarrow{N}+\overrightarrow{F}+{\overrightarrow{F}}_{тр}=m\overrightarrow{a}$    (1)

Перепишем уравнение (1) в проекциях на ось ОХ и ОУ:

ОХ: $F \cos \alpha -F_{тр}=ma$   (2)

ОУ: $-mg+N+F\sin \alpha =0$   (3) 

Во втором уравнении произведение массы на ускорение равно 0 так как тело относительно оси ОУ не движется.

Из (3) уравнения выражаем $N=mg-F\sin \alpha$, и подставляем в формулу силы трения:

$F_{тр}=\mu N=\mu (mg-F\sin \alpha )$   (4)

Полученную формулу для силы трения (4) подставим в (2):

$F\cos \alpha -\mu (mg-F\sin \alpha )=m\alpha$   (5)

Из (5) выражаем ускорение:

$\alpha =\frac{F\cos \alpha -\mu (mg-\sin \alpha )}{m}=\frac{294·0.866-0.1(45·9.8-294·0.5)}{45}\approx 5\left(\frac{м}{{с}^2}\right)$

ЗАДАЧА 5

Тело массой 3 кг находится на наклонной плоскости. Максимальный угол, при котором тело еще может находиться на наклонной плоскости в покое равен 30⁰, (при больших углах тело скатывается с ускорением). Чему равен коэффициент трения?

С решением данной задачи вы можете ознакомиться в следующем видео.

Для систематизации полученных знаний выполните следующие задания.

Задание 1. Кроссворд

Задание 2. Перетащи слово в правильное поле

Задание 3. Перетащи слово в правильное поле