Лекция 5. Небесная механика

Законы Кеплера

Астрономия конца XVI века отмечает столкновение двух моделей нашей Солнечной системы: геоцентрическая система Птолемея – где центром вращения всех объектов является Земля, и гелиоцентрическая система Коперника – где Солнце является центральным телом. Идея Коперника была ближе к истинной природе Солнечной системы, но имела недостатки. Основным из этих недостатков являлось утверждение, что планеты вращаются вокруг Солнца по круговым орбитам. В начале XVII века немецкий астроном Иоганн Кеплер, изучая систему Николая Коперника, а также анализируя результаты астрономических наблюдений датчанина Тихо Браге, вывел основные законы относительно движения планет. Они были названы как «Три закона Кеплера».

Первый закон Кеплера

Немецкий астроном пытался различными способами сохранить круговую орбиту движения планет, однако это не позволяло исправить расхождение с результатами наблюдений. Потому Кеплер прибегнул к эллиптическим орбитам. У каждой такой орбиты есть два так называемых фокуса. Иоганн Кеплер сформулировал первый закон движения планет (рисунок 1): планета движется по эллиптической орбите вокруг Солнца таким образом, что Солнце располагается в одном из двух фокусов эллипса.

Второй закон Кеплера

Если провести радиус-вектор от Солнца, которое располагается в одном из фокусов эллипсоидной орбиты планеты, к самой планете, тогда за равные промежутки времени данный радиус-вектор описывает равные площади на плоскости, в которой движется планета вокруг Солнца. Данное утверждение является вторым законом Кеплера (рисунок 2).

Третий закон Кеплера

Каждая орбита планеты имеет точку, ближайшую к Солнцу, которое называется перигелием. Точка орбиты, наиболее удаленная от Солнца, называется афелием. Отрезок, соединяющий эти две точки называется большой осью орбиты. Если разделить этот отрезок пополам, то получим большую полуось, которую чаще используют в астрономии (рисунок 5).

Третий закон движения планет Кеплера звучит следующим образом:  отношение квадрата периода обращения планеты вокруг Солнца к большой полуоси орбиты этой планеты является постоянным, и также равняется отношению квадрата периода обращения другой планеты вокруг Солнца к большой полуоси этой планеты. Математически это можно записать в виде следующей формулы:

$\frac{{Т}_1^2}{{Т}_2^2}=\frac{{а}_1^3}{{а}_2^3}$, 

где Т₁-период обращения одной планеты вокруг Солнца, Т₂-период обращения второй планеты вокруг солнца, а₁-большая полуось орбиты первой планеты, а₂-большая полуось орбиты второй планеты.

Визуально законы Кеплера представлены на следующем видео.

Закон всемирного тяготения

Гравитация – это универсальное фундаментальное взаимодействие между всеми объектами во Вселенной. Открытие закона гравитации приписывают знаменитому английскому физику Исааку Ньютону, но о наличии гравитации задумывались еще задолго до его эпохи философы и ученые древности, например, Эпикур. Тем не менее, именно Ньютон впервые описал гравитационное взаимодействие между физическими телами в рамках классической механики. Его теорию развил другой знаменитый ученый – Альберт Эйнштейн, который в своей общей теории относительности более точно описал влияние гравитации в космосе, а также ее роль в пространственно-временном континууме.

Немного подробнее о гравитации рассказано в следующем видео.

Закон всемирного тяготения Ньютона говорит, что сила гравитационного притяжения между двумя точками массы, разделенными расстоянием обратно пропорциональна квадрату расстояния и прямо пропорциональна обеим массам. Сила гравитации является дальнодействующей. То есть, в независимости от того, как будет двигаться тело, обладающее массой, в классической механике его гравитационный потенциал будет зависеть от положения этого объекта в данный момент времени. Чем больше масса объекта, тем больше его гравитационное поле – тем более мощной гравитационной силой он обладает. Такие космически объекты, как галактики, звезды и планеты обладают наибольшей силой притяжения.

Гравитационное поле – это расстояние, в пределах которого осуществляется гравитационное взаимодействие между объектами во Вселенной. Чем больше масса объекта, тем сильнее его гравитационное поле – тем ощутимее его воздействие на другие физические тела в пределах определенного пространства. В материальном мире гравитационное поле имеет огромное значения. Им обладают все материальные объекты во Вселенной, у которых есть масса. Гравитационное поле способно влиять не только на материю, но и на энергию. Именно за счет влияния гравитационных полей таких крупных космических объектов, как черные дыры, квазары и сверхмассивные звезды, образуются солнечные системы, галактики и другие астрономические скопления, которым свойственна логическая структура. Последние научные данные показывают, что знаменитый эффект расширения Вселенной так же основан на законах гравитационного взаимодействия. В частности расширению Вселенной способствуют мощные гравитационные поля, как небольших, так и самых крупных ее объектов. 

Закон всемирного тяготения Ньютона говорит, что сила гравитационного притяжения (сила всемирного тяготения) между двумя точками массы, разделенными расстоянием обратно пропорциональна квадрату расстояния и прямо пропорциональна обеим массам. В виде формулы этот закон выглядит следующим образом.

$F=G\frac{m_1\times m_2}{r^2}$,

где m₁ и m₂ - массы двух взаимодействующих тел,  r - расстояние между ними, G-гравитационная постоянная.

Закон всемирного тяготения справедлив для материальных точек, силы гравитационного взаимодействия направлены вдоль линии, соединяющей эти точки (рисунок 4).

Сила гравитации является дальнодействующей. То есть, в независимости от того, как будет двигаться тело, обладающее массой, в классической механике его гравитационный потенциал будет зависеть только от положения этого объекта в данный момент времени. Чем больше масса объекта, тем больше его гравитационное поле – тем более мощной гравитационной силой он обладает. Такие космически объекты, как галактики, звезды и планеты обладают наибольшей силой притяжения и соответственно достаточно сильными гравитационными полями, так как их массы огромны.

Выше мы сказали, что гравитационная сила обратно пропорциональна квадрату расстояния между телами. То есть, чем дальше тела друг от друга, тем гравитационная сила их взаимодействия меньше.

Дополнительную информацию о законе всемирного тяготения вы можете узнать в следующем видео.

Поговорим подробнее о гравитационной постоянной G.

Гравитационная постоянная или иначе – постоянная Ньютона – одна из основных констант, используемых в астрофизике. Фундаментальная физическая постоянная определяет силу гравитационного взаимодействия двух тел. В трудах Ньютона (1684—1686) гравитационная постоянная в явном виде отсутствовала, как и в записях других ученых аж до конца XVIII-го века, в формуле стояло неизвестное число на месте гравитационной постоянной. Эксперимент по определению точного значения гравитационной постоянной впервые предложил английский естествоиспытатель Джон Мичелл, который сконструировал крутильные весы. Однако, не успев провести эксперимент, в 1793-м году Джон Мичелл умер, а его установка перешла в руки Генри Кавендишу – британскому физику. Генри Кавендиш улучшил полученное устройство и провел опыты, результаты которых были опубликованы в 1798-м году в научном журнале под названием «Философские труды Королевского общества». 

Рассмотрим три случая применения закона всемирного тяготения.

Случай 1. Если размеры тел гораздо меньше расстояния между ними. В таком случае тела мы представляем в виде материальных точек r -  расстояние между ними (рисунок 6).

Случай 2.Если размеры тел и расстояние между ними соизмеримы, тогда тела представляем в виде шара, а в качестве r берем расстояние между центрами шаров. Поэтому силы гравитационного взаимодействия между космическими объектами часто называют центральными (рисунок 7).

Случай 3.Если размер одного тела гораздо больше размера второго тела. Большее тело представляем в виде шара и за расстояние r принимаем радиус этого шара. Примером может служить планета Земля (большее тело), и любой предмет на ее поверхности, который мы принимаем за материальную точку (рисунок 8).

Давайте рассмотрим подробнее 3 случай закона всемирного тяготения. Выведем интересную формулу и посчитаем наш вес на всех планетах Солнечной системы. Для этого нам надо знать две формулы:

1. $F_{тяж}=mg$ (1), формула силы тяжести, где m-масса тела[кг] , g-ускорение свободного падения[$\frac{H}{{м}^2}$]. Ускорение свободного падения - это ускорение, с которым движется любое свободно падающее тело.

2.    (2), закон всемирного тяготения Ньютона, где m₁ и m₂ - массы двух взаимодействующих тел,  r - расстояние между ними, G-гравитационная постоянная.

С помощью этих двух формул выведем формулу для расчета ускорения свободного падения на любой планете.

Когда тело находится на поверхности планеты имеем 3 случай закона всемирного тяготения (рисунок 8). Представим, что m₁ - масса тела и обозначим ее m, а  m₂ - масса планеты, обозначим M_п. Выше было сказано, что в таком случае за r мы принимаем радиус планеты, так как размеры тела ничтожно малы по сравнению с размерами самой планеты, радиус планеты обозначим R_п. 

Так как, тело находится в покое относительно поверхности планеты, сила тяжести и гравитационная сила равны по величине:

$F_{тяж}=F$

Подставим в эту формулу значения силы тяжести и силы гравитационного притяжения (1) и (2), Получаем:

$mg=G\frac{m\times M_{п}}{R_{п}^2}$

В силу того, что в правой и левой части выражения стоит одинаковый множитель m мы его сокращаем:

В итоге, формула для определения ускорения свободного падения на любой планете выглядит следующим образом: 

$g=G\frac{M_{п}}{R_{п}^2}$ (3), 

то есть, ускорение свободного падения на любой планете не зависит от массы тела, а зависит только лишь от массы планеты и ее радиуса. На Земле ускорение свободного падения приблизительно равно $\approx 9,8 \frac{м}{{с}^2}$, не сложно убедиться в этом зная радиус Земли и ее массу. $M_{з}\approx 5,9\times {10}^{24} кг$, $R_{з}\approx 6,4\times {10}^6м$.

По этой формуле можно вычислить ускорение свободного падения на любой планете. Если провести такие расчеты по всем планетам Солнечной системы ,включая Луну, то наиболее близкое к Земле ускорение свободного падения на Венере (8,87 м/с²) и Нептуне (10,15м/с²). 

В таблице 1 представлены ускорения свободного падения на других небесных телах.

Для того чтобы рассчитать вес тела на другой планете можно воспользоваться формулой:

$P=\frac{m\times g_{пл}}{g_{Зем}}$,

где m-масса тела на планете Земля,  $g_{пл}$- ускорение свободного падения на искомой планете,  $g_{Зем}$ -ускорение свободного падения на планете Земля. 

Приведем пример, рассчитаем вес человека 60 кг на Меркурии, где g_Мер=3,7 м/с², g_Зем=9,8 м/с². 

$P=\frac{60\times 3.7}{9.8}=22.6 кг$, то есть человек массо 60 кг на Земле будет весить 22,6 кг на Меркурии, так как гравитационная сила его притяжения гораздо меньше земной.

 Задание 1. Перейдите по следующей ссылке, введите в поле "Введите сой вес на планете Земля..." укажите свой вес в килограммах. Далее нажимаем кнопку "посчитать", и вы узнаете массу своего тела на разных планетах.

Далее введите вес на планете Земля 50 кг и выпишите массу этого человека на всех планетах, по этому заданию будет вопрос в тесте.

Космические скорости

В современной астрономии выделяют 4 космические скорости. Давайте разберемся чем они отличаются и что позволяют сделать телам или космическим аппаратам в космическом пространстве.

Первая космическая скорость – это минимальное значение горизонтальной скорости над поверхностью Земли, которое нужно придать летательному аппарату для вывода на круговую орбиту. Если говорить проще, то первая космическая скорость, то это показатель, скорости который нужен для вывода космического корабля или другого объекта в космос. Первая космическая скорость равна 7,91 км/с. Впервые данный показатель скорости, был достигнут советским аппаратом «Спутник» 4 октября 1957 года, при этом был выведен первый в истории космонавтики искусственный спутник Земли. С увеличением высоты над поверхностью Земли, показатель первой космической скорости уменьшается. Так уже на высоте в 100 километров (начало космоса) показатель первой скорости будет равен 7 844 м/с. Это объясняется снижением силы Земного притяжения.

Вторая космическая скорость – она же скорость освобождения или убегания – это показатель ускорения космического аппарата относительно Земли или другого космического тела, которое нужно придать для преодоления гравитационного в притяжения. Вторая космическая скорость это ускорение, которое позволяет преодолеть притяжения космического тела, с которого был осуществлен запуск. К примеру, вторая космическая скорость позволяет преодолеть притяжения Земли и покинуть замкнутую околоземную орбиту. Вторая космическая скорость для нашей планеты равна 11,2 км/с. Для каждого космического тела данный показатель будет отличатся в зависимости от его силы притяжения. К примеру, для Солнца показатель второй космической скорости будет равен 617,7 км/с. Космические корабли, получившие ускорение равное второй космической скорости автоматически становятся спутниками не Земли, а Солнца. Впервые вторую космическую скорость, смог достичь, советский аппарат «Луна-1» в январе 1959 года.

Третья космическая скорость – это минимальный показатель ускорения космического аппарата, который необходимо достичь для преодоления гравитационного притяжения не только Земли, но и Солнца. При достижении третей космической скорости, летательные аппараты имеют возможность покинуть пределы Солнечной системы. Третья космическая скорость для нашей планеты равна 46,9 км/с. Это колоссальный показатель скорости, не так ли? Чтобы его достичь ученые идут на хитрости. При запуске ракет для достижения высокого ускорения используют орбитальное ускорение планеты равное 29,8 км/с и осевое вращение равное 0,5 км/с. В силу этого для получения третьей космической скорости достаточно разогнать аппарат на Земле до 16,6 км/с, что в сумме даст необходимые 46,9 км/с. Впервые третью космическую скорость, достигнул космический аппарат «Новые горизонты». Покидая Землю, аппарат достиг скорости в 16,26 км/с. Относительно Солнца скорость была равна 45 км/с. Третья космическая скорость была достигнута за счет гравитационного маневра вокруг Юпитера, что прибавило 4 километра к скорости.

В современной астрономии четвертой космической скоростью принято считать ускорение, летательного аппарата или другого тела, которое позволяет преодолеть силу притяжения галактики. Ученые говорят, что четвертая космическая скорость не является постоянной величиной. Для каждого участка галактики она будет иметь разное значение. 

Перед выполнением теста необходимо потренироваться выполнив задания. 

Задание 2.

Задание 3.